Pengertian Kalkulus
Kalkulus (Bahasa
Latin: calculus, artinya “batu kecil”, untuk menghitung) adalah
cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret
takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri
adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk
memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas
dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai
masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki
dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling
berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu
gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus
mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.
Sejarah Kalkulus
Sejarah
perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman
kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern.
Pada
periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral
telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan
volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa
ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang
Mesir menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran
ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.
Pada
zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan
konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi
dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar
Bhaskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang
mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal
dari “Teorema Rolle“. Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn
al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan
hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia
mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat
integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad
ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi
kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad
ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan
matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari.. deret Taylor, yang
dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
Pada
zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad
ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa
matematikawan seperti John Wallis danIsaac Barrow memberikan terobosan
dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus
dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.
Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisikasementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakansekarang.
Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisikasementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakansekarang.
Ketika Newton dan
Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di
antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan
terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi
Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri
pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering
dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.
Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara
terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan.
Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan
kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu
cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya “The
science of fluxions“.Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan
kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus. Kalkulus
menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern.
Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan
kalkulus.
Para Penemu dan Peneliti
SIR
ISAAC NEWTON
Sir Isaac Newton FRS (lahir di Woolsthorpe-by-Colsterworth,
Lincolnshire,
4 Januari
1643 – meninggal
31 Maret
1727 pada umur 84 tahun; KJ:
25 Desember 1642 – 20 Maret 1727) adalah seorang fisikawan, matematikawan,
ahli astronomi,
filsuf alam, alkimiawan, dan teolog yang berasal dari Inggris.
Ia merupakan pengikut aliran heliosentris dan ilmuwan yang sangat berpengaruh
sepanjang sejarah, bahkan dikatakan sebagai bapak ilmu fisika klasik.
Karya bukunya Philosophiæ Naturalis Principia
Mathematica yang diterbitkan pada tahun 1687 dianggap sebagai
buku paling berpengaruh sepanjang sejarah sains. Buku ini meletakkan
dasar-dasar mekanika klasik. Dalam karyanya ini, Newton
menjabarkan hukum gravitasi dan tiga hukum gerak yang mendominasi pandangan
sains mengenai alam semesta selama tiga abad. Newton berhasil menunjukkan bahwa
gerak benda di Bumi
dan benda-benda luar angkasa lainnya diatur oleh sekumpulan hukum-hukum alam
yang sama. Ia membuktikannya dengan menunjukkan konsistensi antara hukum gerak
planet Kepler dengan teori gravitasinya. Karyanya ini akhirnya menyirnakan
keraguan para ilmuwan akan heliosentrisme dan memajukan revolusi
ilmiah.
Dalam bidang mekanika, Newton mencetuskan adanya prinsip kekekalan momentum
dan momentum
sudut. Dalam bidang optika, ia berhasil membangun teleskop refleksi yang
pertama dan mengembangkan teori warna berdasarkan pengamatan bahwa sebuah kaca prisma akan
membagi cahaya putih menjadi warna-warna lainnya. Ia juga merumuskan hukum
pendinginan dan mempelajari kecepatan
suara.
Dalam bidang matematika pula, bersama dengan karya Gottfried
Leibniz yang dilakukan secara terpisah, Newton mengembangkan kalkulus
diferensial dan kalkulus integral. Ia juga berhasil menjabarkan teori binomial,
mengembangkan "metode Newton" untuk melakukan pendekatan terhadap
nilai nol suatu fungsi, dan berkontribusi terhadap kajian deret pangkat.
Sampai sekarang pun Newton masih sangat berpengaruh di kalangan
ilmuwan. Sebuah survei tahun 2005 yang menanyai para ilmuwan dan masyarakat
umum di Royal Society mengenai siapakah yang memberikan
kontribusi lebih besar dalam sains, apakah Newton atau Albert
Einstein, menunjukkan bahwa Newton dianggap memberikan kontribusi
yang lebih besar.
GOTTFRIED
WILHEM LEIBNIZ
Gottfried Wilhem Leibniz atau
kadangkala dieja sebagai Leibnitz atau Von Leibniz (1 Juli
(21 Juni menurut tarikh kalender Julian) 1646 – 14 November
1716) adalah seorang
filsuf Jerman keturunan Sorbia dan berasal dari Sachsen.
Ia terutama terkenal karena faham Théodicée bahwa manusia hidup dalam
dunia yang sebaik mungkin karena dunia ini diciptakan oleh Tuhan Yang Sempurna.
Faham Théodicée ini menjadi terkenal karena dikritik dalam buku Candide
karangan Voltaire.
Selain seorang filsuf, ia adalah ilmuwan, matematikawan, diplomat, ahli
fisika, sejarawan dan doktor dalam hukum duniawi dan hukum gereja. Ia dianggap
sebagai Jiwa Universalis zamannya dan merupakan salah seorang filsuf yang
paling berpengaruh pada abad ke-17 dan ke-18. Kontribusinya kepada subyek yang
begitu luas tersebar di banyak jurnal dan puluhan ribu surat serta naskah
manuskrip yang belum semuanya diterbitkan. Sampai sekarang masih belum ada
edisi lengkap mengenai tulisan-tulisan Leibniz dan dengan ini laporan lengkap
mengenai prestasinya belum dapat dilakukan. Leibniz
lahir di Leipzig
dan meninggal dunia di Hannover.
JOHN
WALLIS
John Wallis (23 November
1616 – 28 Oktober
1703) adalah matematikawan
Inggris
yang berperan dalam perkembangan kalkulus. Ia juga menciptakan simbol ∞ untuk bilangan tak
terhingga. Asteroid
31982 Johnwallis dinamai
dari namanya. John Brehaut Wallis lahir di Ashford, Kent, anak ketiga
dari Reverend John Wallis dan Joanna Chapman
ISAAC
BARROW
Isaac Barrow (Oktober
1630 - 4 Mei 1677) adalah sarjana dan matematikawan
Inggris
yang biasanya diberikan penghargaan atas peran awalnya dalam perkembangan kalkulus,
terutama untuk penemuan teorema dasar kalkulus. Karyanya terpusat
pada sifat-sifat tangen.
Barrow adalah yang pertama kali menghitung tangen kurva kappa. Isaac Newton
adalah mahasiswa Barrow, dan Newton kemudian mengembangkan kalkulus dalam
bentuk modern. Nama kawah di Bulan, kawah Barrow, berasal dari namanya.
PENGARUH PENTING
Walau beberapa
konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok,
India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa
pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz
mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan
pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.
Aplikasi kalkulus
diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu
kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan
luas, volume,panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih
jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.
Kalkulus juga
digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu,
dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha
memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah
dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh
terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang
limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks
tersebut.
APLIKASI
CANGKANG NAUTILUS
Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer,
statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di
bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan
melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak
diketahui,momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek
dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.
Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan
untuk mencari total fluks dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historis
lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai
laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahanmomentum dari sebuah
benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan
arah yang sama.
Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan,
menggunakan perumusan kalkulus diferensial karena percepatan bisa dinyatakan
sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori
relativitas Einstein juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial. Pola
spiral logaritma cangkang Nautilus adalah contoh klasik untuk menggambarkan
perkembangan dan perubahan yang berkaitan dengan kalkulus.
Sumber:
0 komentar:
Posting Komentar